Steinmetz Solid

在這個主題我們主要討論以下三個空間中的圓柱
$$x^2+y^2=r^2,\quad y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2$$
相交所成立體的表面積和體積。我們稱呼這樣子的立體為Steinmetz Solid，其中兩個圓柱相交的立體稱為Bicylinder(如下圖)，

而三個圓柱相交的立體稱為Tricylinder(如下圖)。

我們在這篇文章中主要會得到以下的結果:

Theorem.
(a) The surface area of Bicylinder is ${ 16r^2}$.
(b) The volume of Bicylinder is ${\displaystyle \frac{16}{3} r^3}$.
(c) The surface area of Tricylinder is ${ 24(2-\sqrt{2})r^2}$.
(d) The volume of the Tricylinder is ${ 8(2-\sqrt{2})r^3}$.


首先，我們先來看Bicylinder，以下以這兩個圓柱
$$y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2$$
作討論。

我們將Bicylinder分成上下兩個部分，如下圖我們取上半部。

接著我們將其投影到$xy$平面，令
$$z=f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2}$$

我們可以先計算上半個Bicylinder投影在$xy$平面會落在$\Omega$上的表面積，接著只要再乘上16倍便是整個Bicylinder的表面積，過程如下:
$$\begin{aligned} &16\iint\limits_\Omega \sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}\,dx\,dy\\ =& 16\int_0^r\int_0^x\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dy\,dx\\ =&16\int_0^r\frac{rx}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx\\ =&16r^2 \end{aligned}$$


接著來看Bicylinder的體積，我們會發現每一個橫切面(平行$xy$平面)都是一個正方形，於是我們把這些正方形從$z=-r$到$z=r$累積起來便會得到其體積，過程如下:

$$\begin{aligned} &\int_{-r}^r(2x)^2\,dz\\ =&4\int_{-r}^r x^2\,dz\\ =&4\int_{-r}^r \left(r^2-z^2\right)\,dz\\ =&\frac{16}{3}r^3 \end{aligned}$$


最後我們來看Tricylinder，它是由以下三個圓柱
$$x^2+y^2=r^2,\quad y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2$$
相交而成的立體，

首先其表面積的計算方式和Bicylinder相似，令
$$z=f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2}$$
我們發現到Tricylinder的表面可以分割成48個相同的區域，只要先考慮其中一個投影到$xy$平面會落在$\Omega$的區域，接著只要再乘上48倍便是整個Tricylinder的表面積，計算過程如下:

$$\begin{aligned} &48\iint\limits_\Omega \sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}\,dx\,dy\\ =& 48\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}r}\int_0^x\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dy\,dx\\ =&48\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}r}\frac{rx}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx\\ =&24(2-\sqrt{2})r^2 \end{aligned}$$
最後我們利用圓柱座標(cylindrical coordinate)
$$x=t\cos\theta,\quad y=t\sin\theta,\quad z=z$$
來計算Tricylinder的體積。首先我們先看在第一卦限(first octant)的體積，在第一卦限的Tricylinder會滿足
$$\left\{ \begin{array}{l} x,y,z\geq 0 \\ x^2+y^2\leq r^2\\ x^2+z^2\leq r^2\\ y^2+z^2\leq r^2 \end{array} \right .$$
i.e.
$$\left\{ \begin{array}{l} 0\leq t\leq r\\ 0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}\\ 0\leq z\leq\sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}\\ 0\leq z\leq\sqrt{r^2-t^2\sin^2\theta} \end{array} \right .$$
為了要得到$z$的範圍，我們將$\theta$限縮在$0\leq\theta\leq \pi/4$，於是在這個範圍裡頭，我們會有$0\leq z\leq\sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}$，因此我們將Tricylinder分成16塊並計算其體積得到
$$\begin{aligned} &16\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^r\int_0^{\sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}}t\,dz\,dt\,d\theta\\ =&16\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^r \sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}\,t\,dt\,d\theta\\ =&\frac{16}{3}r^3\int_0^{\frac{\pi}{4}}(1-\sin^3\theta)\sec^2\theta\,d\theta\\ =&\frac{16}{3}r^3\left(\tan\theta-\cos\theta-\frac{1}{\cos\theta}\right)\bigg\vert_0^\frac{\pi}{4}\\ =&8(2-\sqrt{2})r^3. \end{aligned}$$

                                           
*講義可參考附件 Steinmetz Solid.pdf