Steinmetz Solid
在這個主題我們主要討論以下三個空間中的圓柱
\[x^2+y^2=r^2,\quad y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2\]
相交所成立體的表面積和體積。我們稱呼這樣子的立體為Steinmetz Solid，其中兩個圓柱相交的立體稱為Bicylinder(如下圖)，
而三個圓柱相交的立體稱為Tricylinder(如下圖)。
我們在這篇文章中主要會得到以下的結果:
Theorem.
(a) The surface area of Bicylinder is \({ 16r^2}\).
(b) The volume of Bicylinder is \({\displaystyle \frac{16}{3} r^3}\).
(c) The surface area of Tricylinder is \({ 24(2-\sqrt{2})r^2}\).
(d) The volume of the Tricylinder is \({ 8(2-\sqrt{2})r^3}\).
首先，我們先來看Bicylinder，以下以這兩個圓柱
\[y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2\]
作討論。
我們將Bicylinder分成上下兩個部分，如下圖我們取上半部。
接著我們將其投影到\(xy\)平面，令
\[z=f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2}\]
我們可以先計算上半個Bicylinder投影在\(xy\)平面會落在\(\Omega\)上的表面積，接著只要再乘上16倍便是整個Bicylinder的表面積，過程如下:
\begin{aligned}
&16\iint\limits_\Omega \sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}\,dx\,dy\\
=& 16\int_0^r\int_0^x\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dy\,dx\\
=&16\int_0^r\frac{rx}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx\\
=&16r^2
\end{aligned}
接著來看Bicylinder的體積，我們會發現每一個橫切面(平行\(xy\)平面)都是一個正方形，於是我們把這些正方形從\(z=-r\)到\(z=r\)累積起來便會得到其體積，過程如下:
\begin{aligned}
&\int_{-r}^r(2x)^2\,dz\\
=&4\int_{-r}^r x^2\,dz\\
=&4\int_{-r}^r \left(r^2-z^2\right)\,dz\\
=&\frac{16}{3}r^3
\end{aligned}
最後我們來看Tricylinder，它是由以下三個圓柱
\[x^2+y^2=r^2,\quad y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2\]
相交而成的立體，
首先其表面積的計算方式和Bicylinder相似，令
\[z=f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2}\]
我們發現到Tricylinder的表面可以分割成48個相同的區域，只要先考慮其中一個投影到\(xy\)平面會落在\(\Omega\)的區域，接著只要再乘上48倍便是整個Tricylinder的表面積，計算過程如下:
\begin{aligned}
&48\iint\limits_\Omega \sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}\,dx\,dy\\
=& 48\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}r}\int_0^x\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dy\,dx\\
=&48\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}r}\frac{rx}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx\\
=&24(2-\sqrt{2})r^2
\end{aligned}
最後我們利用圓柱座標(cylindrical coordinate)
\[x=t\cos\theta,\quad y=t\sin\theta,\quad z=z\]
來計算Tricylinder的體積。首先我們先看在第一卦限(first octant)的體積，在第一卦限的Tricylinder會滿足
\[\left\{
\begin{array}{l}
x,y,z\geq 0 \\
x^2+y^2\leq r^2\\
x^2+z^2\leq r^2\\
y^2+z^2\leq r^2
\end{array}
\right .\]
i.e.
\[\left\{
\begin{array}{l}
0\leq t\leq r\\
0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}\\
0\leq z\leq\sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}\\
0\leq z\leq\sqrt{r^2-t^2\sin^2\theta}
\end{array}
\right .\]
為了要得到\(z\)的範圍，我們將\(\theta\)限縮在\(0\leq\theta\leq \pi/4\)，於是在這個範圍裡頭，我們會有\(0\leq z\leq\sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}\)，因此我們將Tricylinder分成16塊並計算其體積得到
\begin{aligned}
&16\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^r\int_0^{\sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}}t\,dz\,dt\,d\theta\\
=&16\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^r \sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}\,t\,dt\,d\theta\\
=&\frac{16}{3}r^3\int_0^{\frac{\pi}{4}}(1-\sin^3\theta)\sec^2\theta\,d\theta\\
=&\frac{16}{3}r^3\left(\tan\theta-\cos\theta-\frac{1}{\cos\theta}\right)\bigg\vert_0^\frac{\pi}{4}\\
=&8(2-\sqrt{2})r^3.
\end{aligned}
*講義可參考附件 Steinmetz Solid.pdf
\[x^2+y^2=r^2,\quad y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2\]
相交所成立體的表面積和體積。我們稱呼這樣子的立體為Steinmetz Solid，其中兩個圓柱相交的立體稱為Bicylinder(如下圖)，
而三個圓柱相交的立體稱為Tricylinder(如下圖)。
我們在這篇文章中主要會得到以下的結果:
Theorem.
(a) The surface area of Bicylinder is \({ 16r^2}\).
(b) The volume of Bicylinder is \({\displaystyle \frac{16}{3} r^3}\).
(c) The surface area of Tricylinder is \({ 24(2-\sqrt{2})r^2}\).
(d) The volume of the Tricylinder is \({ 8(2-\sqrt{2})r^3}\).
首先，我們先來看Bicylinder，以下以這兩個圓柱
\[y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2\]
作討論。
我們將Bicylinder分成上下兩個部分，如下圖我們取上半部。
\[z=f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2}\]
我們可以先計算上半個Bicylinder投影在\(xy\)平面會落在\(\Omega\)上的表面積，接著只要再乘上16倍便是整個Bicylinder的表面積，過程如下:
\begin{aligned}
&16\iint\limits_\Omega \sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}\,dx\,dy\\
=& 16\int_0^r\int_0^x\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dy\,dx\\
=&16\int_0^r\frac{rx}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx\\
=&16r^2
\end{aligned}
接著來看Bicylinder的體積，我們會發現每一個橫切面(平行\(xy\)平面)都是一個正方形，於是我們把這些正方形從\(z=-r\)到\(z=r\)累積起來便會得到其體積，過程如下:
&\int_{-r}^r(2x)^2\,dz\\
=&4\int_{-r}^r x^2\,dz\\
=&4\int_{-r}^r \left(r^2-z^2\right)\,dz\\
=&\frac{16}{3}r^3
\end{aligned}
最後我們來看Tricylinder，它是由以下三個圓柱
\[x^2+y^2=r^2,\quad y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2\]
相交而成的立體，
首先其表面積的計算方式和Bicylinder相似，令
\[z=f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2}\]
我們發現到Tricylinder的表面可以分割成48個相同的區域，只要先考慮其中一個投影到\(xy\)平面會落在\(\Omega\)的區域，接著只要再乘上48倍便是整個Tricylinder的表面積，計算過程如下:
\begin{aligned}
&48\iint\limits_\Omega \sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}\,dx\,dy\\
=& 48\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}r}\int_0^x\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dy\,dx\\
=&48\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}r}\frac{rx}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx\\
=&24(2-\sqrt{2})r^2
\end{aligned}
最後我們利用圓柱座標(cylindrical coordinate)
\[x=t\cos\theta,\quad y=t\sin\theta,\quad z=z\]
來計算Tricylinder的體積。首先我們先看在第一卦限(first octant)的體積，在第一卦限的Tricylinder會滿足
\[\left\{
\begin{array}{l}
x,y,z\geq 0 \\
x^2+y^2\leq r^2\\
x^2+z^2\leq r^2\\
y^2+z^2\leq r^2
\end{array}
\right .\]
i.e.
\[\left\{
\begin{array}{l}
0\leq t\leq r\\
0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}\\
0\leq z\leq\sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}\\
0\leq z\leq\sqrt{r^2-t^2\sin^2\theta}
\end{array}
\right .\]
為了要得到\(z\)的範圍，我們將\(\theta\)限縮在\(0\leq\theta\leq \pi/4\)，於是在這個範圍裡頭，我們會有\(0\leq z\leq\sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}\)，因此我們將Tricylinder分成16塊並計算其體積得到
\begin{aligned}
&16\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^r\int_0^{\sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}}t\,dz\,dt\,d\theta\\
=&16\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^r \sqrt{r^2-t^2\cos^2\theta}\,t\,dt\,d\theta\\
=&\frac{16}{3}r^3\int_0^{\frac{\pi}{4}}(1-\sin^3\theta)\sec^2\theta\,d\theta\\
=&\frac{16}{3}r^3\left(\tan\theta-\cos\theta-\frac{1}{\cos\theta}\right)\bigg\vert_0^\frac{\pi}{4}\\
=&8(2-\sqrt{2})r^3.
\end{aligned}
*講義可參考附件 Steinmetz Solid.pdf
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