Math Ying

在這個主題我們主要討論以下三個空間中的圓柱 $$x^2+y^2=r^2,\quad y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2$$ 相交所成立體的表面積和體積。我們稱呼這樣子的立體為Steinmetz Solid，其中兩個圓柱相交的立體稱為Bicylinder(如下圖)， 而三個圓柱相交的立體稱為Tricylinder(如下圖)。 我們在這篇文章中主要會得到以下的結果: Theorem. (a) The surface area of Bicylinder is ${ 16r^2}$. (b) The volume of Bicylinder is ${\displaystyle \frac{16}{3} r^3}$. (c) The surface area of Tricylinder is ${ 24(2-\sqrt{2})r^2}$. (d) The volume of the Tricylinder is ${ 8(2-\sqrt{2})r^3}$. 首先，我們先來看Bicylinder，以下以這兩個圓柱 $$y^2+z^2=r^2,\quad x^2+z^2=r^2$$ 作討論。 我們將Bicylinder分成上下兩個部分，如下圖我們取上半部。 接著我們將其投影到$xy$平面，令 $$z=f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2}$$ 我們可以先計算上半個Bicylinder投影在$xy$平面會落在$\Omega$上的表面積，接著只要再乘上16倍便是整個Bicylinder的表面積，過程如下: $$\begin{aligned} &16\iint\limits_\Omega \sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}\,dx\,dy\\ =& 16\int_0^r\int_0^x\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dy\,dx\\ =&16\int_0^r\frac{rx}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx\\ =&16r^2 \end{aligned}$$ 接著來看Bicylinder的體積，我們會發現每一個橫切面(平行$xy$平面)都是一個正方形，於是我們把這些正方形...